Тема 3. ПРАКТИКА ФИНАНСОВОГО КОЛИЧЕСТВЕННОГО      
              АНАЛИЗА.
              ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ           ДОЛГОСРОЧНОЙ            
              ЗАДОЛЖЕННОСТИ.
1.	Общие принципы погашения долгосрочной задолженности. Классификация способов погашения.
    2.    Погашение задолженности методом формирования фонда
    3.    Погашение задолженности равными суммами долга.
    4.    Погашение задолженности равными уплатами долга с процентами.
Погашение ипотечной задолженности. 
    5.    Погашение потребительского кредита по “схеме 78”. 
    6.    Оценка льготных займов.
1 Общие   принципы   погашения   долгосрочной   задолженности. Классификация способов погашения.
В банковской практике зарубежных стран с невысокой инфляцией и стабильной экономикой преимущественно работают ссуды среднесрочного (2-5 лет) и долгосрочного характера (свыше 5 лет). Для расчета плана погашения ссуды используется аппарат финансового количественного анализа. В России методы, приведенные ниже, уже находят свое применение для расчета потребительских займов, долгосрочных ссуд для развития производства и др. кредитных операций.
Расходы по выплате кредита (погашение процентов и возврат основного долга) называют расходами по обслуживанию долга или амортизацией займа. Размер разовой суммы амортизации займа называется срочной уплатой (Y). Она состоит из суммы выплаты процентов (I) за пользование займом и суммы частичного погашения основного долга (R). Y=I+R
Способы выплаты задолженности могут быть различными. Они определяются при заключении кредитного договора. Расчетной частью договора является план (график) погашения задолженности, который составляется на основе выбранного метода. Одна и та же задолженность может быть погашена с разной периодичностью взносов, в разной последовательности платежей: периодической выплаты процентов и погашения задолженности разовым платежом или в рассрочку. По выплате основной суммы займа может быть предоставлена отсрочка платежей (льготный период). Погашение может вестись аннуитетом (погашением через равные промежутки времени и суммами, содержащими основную сумму долга и процентный платеж). Величина аннуитета может быть постоянна или меняться в арифметической или геометрической прогрессии. Величина срочной уплаты зависит от размера задолженности, периодичности и длительности погашения, размера процентной ставки, наличия льготного периода, а также от выбранного способа погашения займа.
Классификацию способов погашения задолженности можно провести в соответствии с режимом погашения основного долга. Возврат суммы задолженности может быть проведен разовым взносом или погашение долга может вестись в рассрочку. Погашение разовым платежом может быть проведено разовым взносом без предварительного накопления, либо может вестись накопление суммы на отдельном счете для последующего погашения разовым платежом. При погашении задолженности в рассрочку в зависимости от схемы, выбранной для расчета плана погашения, размер погасительных платежей по разным схемам будет отличаться.

Методы погашения представлены на схеме:

Методы погашения долгосрочной задолженности	

Погашение разовым платежом основного долга		Погашение основного долга в рассрочку	

Возврат разовым платежом без накопления на счете		Возврат основного долга равными суммами долга	
Возврат разовым платежом                                                       Возврат равными уплатами
методом накопления фонда                                                       долга с процентами

                                                                                                        Погашение ипотечного кредита
                          
                                                                                                           Возврат потребительского       
                                                                                                            кредита по “схеме 78”
Обозначения:
D(Dt)-сумма задолженности (остатка непогашенной задолженности на начало периода t)
Yt - срочная уплата в периоде t) 
It - выплата процентов в периоде t:
Rt - размер взноса по погашению основной суммы долга в период t
i - годовая процентная ставка по кредиту
2 Погашение методом формирования фонда
Метод погашения предусматривает возврат долга разовой суммой в конце срока кредита. При значительной сумме задолженности заемщик для своевременного погашения долга предусматривает создание погасительного фонда. Погасительный фонд создается путем денежных взносов в банк на депозитный счет с начислением на них процентов. Размер погасительного фонда (взносы и проценты на них) должен обеспечить своевременную выплату кредита. Поскольку задолженность погашается в конце срока, т.е. не уменьшается в течение срока погашения, размер выплат процентов за пользование кредитом, остается неизменным на протяжении срока кредита. Т.о., при данном методе погашения существуют два потока - по погашению процентов по ссуде и поток по созданию погасительного фонда. При расчете плана погашения необходимо рассчитать размер срочной уплаты, которая может быть как постоянной, так и переменной.
При постоянных срочных уплатах планирование погашения графически будет выглядеть:

                                                          I

                                                           R
                                 …… 
Последовательность внесения
                  1   2   3                     T                  n     срочных уплат

                     
                    D
                                                                                 Возврат основного долга

                                    

                                    T
Предположим, что погашение задолженности ведется формированием фонда ежегодными равными платежами R, на которые начисляются проценты по ставке g. Параллельно с взносами в фонд выплачиваются проценты по кредиту из расчета ставки i. При начислении на величину долга простых процентов срочная уплата будет равна
Yt = D*i + R=соnst                     (3.1).
При начислении по долгу сложных процентов срочная уплата рассчитывается по формуле
Yt = It + R
Величина It увеличивается в зависимости от удаленности периода выплаты и для расчетного периода t вычисляется по формуле
It = D(1 + i)t-1i

Т.о. срочная уплата по сложным процентам рассчитывается
Yt = D(1 + i)t-1i + R                       (3.2).
Если формирование фонда рассчитано на n лет, то вносимые платежи R будут представлять собой аннуитет с параметрами R,n,g. Сумма вносимых платежей под ставку g должна составить сумму основного долга D, в силу чего размер взноса R рассчитывается из соотношения
                 (1 + g)n – 1
    D = R         g            = Rsg,n
 
    Откуда R=D/sg,n 
Подставив R в формулу (1), получим
Yt = D*i + D/sg,n = D(i + 1/sg,n) -значение срочной уплаты при начислении на            
                                              основной долг простых процентов.

Для расчета накопленных за t лет сумм погасительного фонда используется формула наращенных сумм постоянных рент:
S t+1 = (1 +i) + R                                (33.).
В случае формирования фонда по схеме простых процентов, режиме платежей по m и р-кратной ренте, используются соответствующие расчетные формулы.
Пример.
Кредит в сумме 100 тыс. рублей под 40% простых годовых выдан на 5 лет. Для его погашения формируется фонд с начислением на взносы 20% сложных годовых . Погашение процентов и взносы в фонд запланированы ежегодными платежами. Рассчитать план погашения.
Срочная уплата будет состоять их суммы выплаты процентов и взносов в фонд, причем размер уплаты будет постоянен на протяжении всего срока кредита.

                                  __0,2__
Y = 100*0,4 + 100* (1+0,2)5  - 1 = 40+13,438 = 43,438 тыс. рублей

№ плате жа	Сумма выплаты процентов	Сумма взноса в фонд	Срочная уплата	Накопленная сумма в фонде	
1	40	13.438	53,438	13.438	
2	40	13,438	53,438	29,564	
3	40	13,438	53,438	48,914	
4	40	13,438	53,438	72,135	
5	40	13,438	53,438	100,0	
Итог	200	67,19	267,19	X	

Сумма накопления в фонде рассчитывается наращиванием ежегодных взносов R=13,438 тыс. рублей по формуле (3.2) либо по известным формулам наращенной ренты за соответствующий период времени.
 Например, наращенная сумма в фонде за 4 года равна
• По (3.2) S4 = 48,914(1+0,2)+13,438 = 72,135
• По формуле наращенной величины
    S4 = 13,438*((1+0,2)4 – 1)/0,2 = 72,135

3. Погашение задолженности равными суммами долга.
В кредитном контракте может быть оговорено условие выплаты основного долга D равными платежами. При годовом погашении размеры платежей по основному долгу будут равны
D/n=R1=R2=…=Rn=const=R
Остаток основного долга в начале каждого расчетного периода (Dк) определится как
Dк = D – R (к – 1)
D - сумма первоначального долга,
к - номер расчетного периода.

Величина срочной уплаты в каждом расчетном периоде равна   
Yк = Dк*i + R                     (3.4)                  
Подставив в (3.4) значение Dк, получим
Yк = Dк*i + R
Yк = (D-R(к-1))*i + R          (3.3)      
При погашении задолженности чаще, чем раз в год при расчете появляется
параметр р, отражающий частоту платежей в течение года, корректирующий
размер выплаты по долгу
R = D/np
И размер выплаты процентов соответственно
Iк = Dк*i/p
Графически процесс погашения соответствует схеме:

Последовательность внесения  
Сумма выплат убывает в связи с уменьшением размера выплаты процентов (в связи с уменьшением основного долга-базы для начисления процентов).
Пример.
Кредит в сумме 100 тыс. рублей под 40% простых годовых выдан на 5 лет. Погашение процентов и взносы в фонд запланированы ежегодными платежами при погашении основного долга равными платежами. Рассчитать план погашения.
№ плате жа	Остаток непогашенной задолженности на нач. пер.(Dк)	Сумма выплаты долга  R	Сумма выплаты процеитов(Iк)	Срочная уплата (Yк)	
1	100	20	40	60	
2	80	20	32	52	
3	60	20	24	44	
4	40	20	16	36	
5	20	20	8	28	
Итог	X	100	120	220	

4. Погашение задолженности равными уплатами долга с процентами. Погашение ипотечной задолженности.
Условиями кредитного контракта может быть предусмотрен вариант выплат задолженности вместе с процентами в равных суммах на протяжении всего периода погашения.
Поскольку каждая срочная уплата является суммой двух составляющих - процентного платежа и платежа по долгу и срочная уплата постоянна на протяжении срока погашения, в структуре срочной уплаты происходит перераспределение между названными составляющими. В связи с тем, что происходит погашение основного долга, соответственно, будут уменьшаться и выплаты процентов по долгу. Следовательно, расход по уплате долга будет увеличиваться.  Такой процесс погашения  называют прогрессивным погашением. Сама последовательность срочных уплат представляет собой ренту постнумерандо.
Схематически процесс погашения соответствует схеме:

                      Rк

   
                                                                                       Iк         

Величина кредита (D) равна сумме всех дисконтированных платежей по ренте, т.е. является современной величиной суммы всех срочных уплат. Исходя из этого можно записать для годовой ренты
D = Y1/(1+i)+Y2/(1+i)2 +Y3/(1+i)3 + … +Yn/(1+i)n
Либо по формуле суммы аннуитета
                           1-(10i)-n
D = Y       i        = Y*ai,n

Откуда размер разового платежа (срочной уплаты) равен
Y = D/ai,n

Поскольку проценты считаются от остатка непогашенного долга, размер процентов высчитывается для годовой ренты как Iк=Dк*i, (Dк - остаток непогашенного долга на начало периода к)
Пример
Тот же. Погашение равными суммами вместе с процентами.
Y= 100*0б4/(1-1,4-5) = 49,136 тыс. рублей
I1 = D*i = 100*0,4 = 40 тыс.руб.
R1 = Y-I1=49,136-40=9,136 тыс.руб.
Остаток непогашенного долга на начало 2 года рассчитывается как разница
между начальной суммой долга и размером погашенной задолженности первым платежом:
D2 = D – R1 = 100 – 9,136 = 90,864 тыс. рублей
Далее сумма процентов в структуре срочной уплаты 49,136 тыс. рублей определяется из расчета процентов от остатка непогашенной задолженности D2 = 90,864 тыс. рублей, что соответствует сумме I2 = 90,864*0,4 = 36,3456 тыс. рублей
                                                                                                                      Тыс. рублей
№ платежа	Остаток непогашенной задолженности на нач. пер. (Dк)	Срочная уплата (Yк)	Сумма выплаты процентов
(Iк)	Сумма выплаты долга
(Rк)	
1	100	 49,136	 40	  9.136	
2	  90.864	 49,136	 36.3456	 12.7904	
3	  78.0736	 49,136	 31.2294	 17.907	
4	  60.17	 49,136	 24.07	 25.069	
5	  35.10	 49,136	 14.04	 35.1	
Итог	X	245,68	145.685	100	

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во времени:
Rк+1 = Rк(1+i) (для годовых выплат).
Размер роста Rк соответствует сумме уменьшения выплачиваемых процентов по долгу.
Платежи по погашению долга образовывают ряд:
R1, R1(1+i), R1(1+i)2, R1(1+i)3, ....,R1(1+i)n.
Используя этот ряд, несложно определить размер погашенного долга на любой момент времени t (после очередной выплаты).

                       t-1
Wt = ∑ R1(1+i)к
                       К=0
Соответственно, остаток непогашенной задолженности на начало периода t будет равен разнице D и Wt

Пример
Определить размер погашенного долга за 3 года и остаток к погашению до конца периода. (Условия предыдущей задачи).
Сумма взноса по погашению долга в первом периоде составляет R1=9,136 т. р.
Объем погашения за 3 года
Wз=9,136* s3,40 =9,136*{(1+0,4)3-1 }/0,4=39,83 т.руб.
Остаток к погашению равен
D-Wз=100 - 39,83=60,17 т.руб., что соответствует данным таблицы.
Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в год. Для расчетов используются формулы для m, р кратной ренты.
Разработка плана погашения равными срочными уплатами может быть построена на условии, что при имеющейся сумме задолженности по кредиту устанавливается размер отдельной срочной уплаты. При этом необходимо разрабатывать условия контракта. Решение такой задачи заключается в определении срока погашения задолженности корректировке первичных условий для достижения полной сбалансированности платежей.
Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Формулы приведены в разделе расчета параметров ренты. При выплатах постнумерандо один раз в год срок выплат рассчитывается
            -ln(1-D/Y*i)
N=       ln(1+i)

Очевидно, что решение существует при превышении размера срочной уплаты суммы начисленных процентов за период, т.е. Di‹Y. При получении дробной величины n его округляют до ближайшего целого наименьшего числа. В этом случае план оказывается несбалансированным. Далее имеются две возможности для достижения сбалансированности: найти новое значение Y или компенсировать остаток долга.
Погашение ипотечной задолженности рассчитывается методом равных срочных уплат. Однако имеются особенности, связанные с режимом платежей по займу:
• Погашение ведется в течение длительного периода времени (10 лет и более),
• Взносы по погашению займа ведутся ежемесячно.
Для расчета плана погашения используется рента с параметрами т,р==12. Соответственно, размер уплаты
           ____I/12_____
Y=D 1-(1+i/12) –mn

5. Погашение потребительского кредита по “схеме 78”

Погашение потребительского кредита по “схеме 78” относится к погашению задолженности в рассрочку. Данный вид погашения является наиболее дорогим среди методов, поскольку предполагается, что проценты на всю сумму задолженности за весь период кредита. Таким образом, масса начисленных процентов оказывается больше, чем при других способах погашения. Далее погашение ведется равными по сумме величинами с перераспределением структуры срочной уплаты в сторону увеличения доли, идущей на погашение основного долга. Аналогично варианту погашения задолженности равными срочными уплатами погашение по “схеме 78” является прогрессивным.

Схематически процесс погашения выглядит следующим образом:

       Rк
        Iк 

При расчете погашения по “схеме 78” расчет процентов ведется по простой схеме.
Пусть выдан потребительский кредит в сумме D на n лет. Общая сумма задолженности вместе с процентами за весь срок погашения равна
S = D (1+n*i). 
Поскольку погашение ведется равными долями от общей суммы задолженности, размер срочной уплаты рассчитывается
Y = S/n
При режиме погашения р раз в год - Y = S/nр.
В срочной уплате выделяются части, направленные на погашение процентов It и основного долга Rt: Y = It + Rt. При расчете плана погашения определяется размер процентного платежа, а затем - сумма, направленная на погашение основного долга:
Rt = Y – It.
Найдем величину погашения процентов. 
Сумма процентов к погашению за весь срок составляет I=Dni. Величина I разбивается на суммы процентных платежей в каждой срочной уплате согласно “правила 78”. Суть метода заключается в следующем. Сумма номеров месяцев в году составляет число 78 (1+2+3+...+12). Доля процентов, выплачиваемых в первой срочной уплате, составляет 12/78 от величины I, во второй срочной уплате - 11/78 I и т.д. Поскольку последовательность выплаты процентов представляет собой арифметическую прогрессию, “правило 78” можно распространить на платежи для любого срока выплат и с любой периодичностью. Для этого необходимо рассчитать сумму номеров выплат Q за срок  кредита  и  расположить  процентные выплаты  в  последовательности   nр/Q,        nр-1/Q,...,1/Q. Величина Q - сумма арифметической прогрессии 1,2,3,...,nр с первым членом 1 и разностью 1. Эта сумма равна Q=nр(nр+1)/2.
Например, при погашении задолженности в течение 2 лет ежемесячными платежами “правило 78” преобразуется в “правило 300”:
Q=2*12*(2*12+1)/2=:24*2%/2==300 и процентные платежи в срочных уплатах расположены в последовательности 
I1 = 24/300*I, I2 = 23/300*I,... ,I24 = 1/300*I.
Таким образом, в каждом месяце выплаты процентов сокращаются на величину Din/Q, на такую же сумму увеличиваются суммы списания основного долга.

Пример.
Погашение потребительского кредита ведется в течение 5 лет. Сумма кредита - 100 тыс. рублей, проценты - 20% годовых. Погашение ежемесячное.
S=D( 1+in)=100( 1+0,2*5)=300 т. рублей.
Сумма процентов - I=100 т. рублей
Срочная уплата Y=200/5*12=3,33 т. рублей
Q=5*12*61/2=1830
Для первого платежа находим
I1=60/1830*100=3,27 т. рублей, R1=3,33-3,27=0,06 т. рублей
В таблице приведены данные о погашении.
Месяц	Остаток долга на начало месяца	Проценты	Погашение долга	Остаток долга на конец месяца	
1	100	3,27	0,06	99,94	
2	 99,94	3,22	0,11	99,83	
3	 99,83	3,17	0,16	99,67	

	

	
59	   6,95	0,11	3,22	 3,275	
60	   3,275	0,054	3,275	0	
Итого	
	100	100	0	

В случае внесения платежей равномерными срочными уплатами расходы по займу равны Y=100/а20,512=100*0,2/12/(1-(1+0.2/12)-12*5)=2,65 тыс. рублей, что значительно ниже, чем при погашении по “схеме 78”.
Т.О., важно отметить, что в потребительском кредите при разовом начислении процентов должник фактически выплачивает проценты за списанные суммы долга. Иначе говоря, если бы проценты начислялись на остатки долга, то кредит обошелся бы значительно дешевле ( при той же процентной ставке). Так, пусть в последнем примере погашение производится равными срочными уплатами. Расходы по обслуживанию долга
Y=100*0,4/(1 –(1+0,4/12)-12*5)=
Что значительно дешевле полученной в примере суммы расходов.
6. Льготные займы и кредиты
В ряде случаев долгосрочные займы и кредиты выдаются на льготных для заемщика условиях. Низкая (относительно ставки на рынке кредитов) процентная ставка в сочетании с большим его сроком и льготным периодом дают должнику существенную выгоду, которую можно рассматривать как субсидию. Кредитор в этих условиях несет некоторые потери, т.к. он мог бы инвестировать деньги на более выгодных условиях.
В качестве измерителя этой помощи используется грант- элемент.
Грант-элемент - это условная потеря заимодавца, которая связана с применением более низкой процентной ставки, чем ставка кредитного рынка. Грант-элемент определяется в двух видах - абсолютной и относительной величины.
Абсолютный грант-элемент рассчитывается как разность номинальной суммы займа и современной величины платежей по погашению займов. Проблема сводится к выбору надлежащей ставки процента для расчета современной величины платежей. Рекомендации по выбору конкретного значения этой ставки расплывчаты, обычно используют превалирующую на рынке долгосрочных кредитов ставку.
Размер абсолютного грант-элемента находим следующим образом:
W = D - G   (G-дисконтированная по ставке кредитного рынка величина льготного потока платежей).
Относительный грант-элемент:
w = W/D = 1 – G/D
Все переменные приведенных выше формул определяются условиями выдачи и погашения займа.
Выведем рабочие формулы для расчета W и w при условии, что долг и проценты погашаются равными срочными уплатами.
Пусть заем выдан на n лет и предусматривает выплату процентов по ставке g. На денежном рынке аналогичные по сроку и величине займы выдаются по ставке i. В этом случае срочная уплата составит:
Y = D/an,g
А современная величина всех выплат  должника равна Yan,i. В итоге согласно формуле W:
W = D - Yan,i = D(1 – an,i/an,g)
w = 1 - an,i/an,g
где an,i/an,g - коэффициенты приведения постоянных годовых рент постнумерандо, определенные для процентных ставок i и g, i>g.
Очевидно, что наличие льготного периода увеличивает грант-элемент. Если в льготном периоде должник выплачивает   проценты, то современная величина поступлений по долгу определяется как сумма двух элементов - современной величины процентных платежей в льготном периоде и современной величины срочных уплат в оставшееся время.